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Die Poesie der Primzahlen

»Um alles zu sehen, ist das Auge des Meisters am besten,

Und ich würde für mich noch hinzufügen, auch das Auge des Liebenden.«

Caius Iulius Phaedrus

»Wie alle großen Rationalisten glaubtest du an Dinge, die doppelt so unglaublich waren wie alles in der Theologie.«

Halldór Laxness

Kristnihald undir Jökli (dt.: Am Gletscher)

»Schach ist das Leben.«

Bobby Fischer

Inhalt

Vorwort

Familienwerte

Die Ewigkeit in einer Stunde

Auf Isländisch bis vier zählen

Sprichwörter und Einmaleins-Tabellen

Eingebungen im Klassenzimmer

Shakespeares Null

Formen der Rede

Über große Zahlen

Schneemann

Unsichtbare Städte

Sind wir alleine?

Der Kalender des Omar Khayyám

An elf Fingern abzählen

Die bewundernswerte Zahl Pi

Einsteins Gleichungen

Höhere Mathematik für Schriftsteller

Das Buch der Bücher

Die Poesie der Primzahlen

Alles ist ungleich

Ein Modell von einer Mutter

Die Sprache des Schachspiels

Der Einzelne und die Statistik

Der Fluss der Zeit

Himmelhoch

Die Kunst der Mathematik

Dank

Vorwort

Im Sommer vor sieben Jahren saß ich jeden Nachmittag an meinem Küchentisch im Süden Englands und schrieb an einem Buch. Es hieß Born On A Blue Day (dt.: Elf ist freundlich und Fünf ist laut). Die Tasten meines Rechners registrierten Hunderttausende Berührungen. Während ich auf die Buchstaben drückte, wurde mir klar, dass jedes einzelne Leben aus unendlich vielen Entscheidungen besteht. Jeder Satz, jeder Absatz enthielt eine Entscheidung, die ich oder ein anderer – Eltern, Lehrer oder Freunde – getroffen oder nicht getroffen hatten. Natürlich war ich selbst mein erster Leser, und es ist keine Übertreibung, wenn ich sage, dass das Verfassen und die Lektüre meines Buches den Lauf meines Lebens tiefgreifend verändert haben.

Meine Autobiografie beginnt mit einer Diagnose. Im Jahr vor jenem Sommer in Südengland hatte ich das Center for Brain Studies (Zentrum für Gehirnstudien) in Kalifornien aufgesucht. Die Neurologen dort hatten mich einer ganzen Reihe von Tests unterzogen. Ich fühlte mich zurückversetzt in meine Jugend; damals war ich in einem Londoner Krankenhaus von Ärzten, die nach Mustern anfallartiger Gehirnaktivität gesucht hatten, an einen Enzephalographen angeschlossen worden. Die Kabel hingen von meinem kleinen Kopf herunter und umschlangen ihn, bis er einem Stück Treibgut glich, wie es Angler manchmal am Haken haben.

Die amerikanischen Forscher trugen beigefarbene Arztkittel und blendend weiße Zähne. Sie ließen mich addieren und lange Zahlenfolgen auswendig lernen. Moderne Instrumente verfolgten meinen Puls und meine Atmung, während ich nachdachte. Ich unterzog mich all diesen Experimenten mit brennender Neugier. Es war aufregend, auf diese Art das Geheimnis meiner speziellen Kindheit zu lüften.

Meine Andersartigkeit hatte endlich einen Namen. Bis dahin hatte es für sie die verschiedensten Bezeichnungen gegeben: krankhaft schüchtern, überempfindsam, zwei linke Hände (wie es mein Vater ausdrückte). Die Ärzte erklärten nun, dass ich ein hochfunktionaler autistischer Savant sei und eine sogenannte Inselbegabung habe: Die Nervenbahnen in meinem Gehirn bildeten von Geburt an ungewöhnliche Schaltkreise. Wieder zurück in England, begann ich zu schreiben und brachte, von den Ärzten ermutigt, schließlich etwas hervor, das tatsächlich einen Londoner Verlag überzeugte.

Bis heute erhalte ich Leserzuschriften zu diesem Buch und auch zu meinem zweiten, das Embracing the Wide Sky (dt.: Wolkenspringer. Von einem genialen Autisten lernen) heißt. Sie fragen sich, wie es wohl ist, Wörter und Zahlen in verschiedenen Farben, Formen und Texturen wahrzunehmen. Sie versuchen sich vorzustellen, mit Hilfe dieser vieldimensionalen farbigen Formen Summen zu ziehen. Sie suchen dieselbe Schönheit und Emotion, die ich in einem Gedicht wie in einer Primzahl finde. Was soll ich ihnen antworten?

Imagine!

Schließen Sie die Augen und stellen Sie sich einen grenzenlosen Raum vor oder die unendliche Vielzahl von unbedeutenden kleinen Ereignissen, die zusammengenommen ein Land schließlich in die Revolution treiben. Oder die perfekte Schachpartie: Wie würde sie enden – ein Sieg für Weiß, einer für Schwarz oder ein Remis? Stellen Sie sich Zahlen vor, so groß, dass sie die Anzahl der Atome im ganzen Universum übertreffen. Stellen Sie sich vor, dass Sie mit 11 oder 12 Fingern statt mit 10 zählen oder ein und dasselbe Buch auf unendlich viele verschiedene Weisen lesen. Jeder Mensch besitzt diese Vorstellungskraft. Es gibt sogar eine eigene Wissenschaft dafür: die Mathematik. Ricardo Nemirovsky und Francesca Ferrara, die sich auf die Erforschung mathematischer Kognition spezialisiert haben, schreiben: »Wie eine literarische Fiktion befasst sich die mathematische Imagination mit reinen Möglichkeiten.« Das ist das Destillat dessen, was mich an der Mathematik fasziniert: dass sie uns über unser Innenleben Auskunft zu geben vermag. Wir nehmen es kaum wahr, aber das Wechselspiel zwischen numerischen Konzepten durchdringt die Art und Weise, wie wir unsere Welt erleben.

Das vorliegende neue Buch, eine Sammlung von 25 Schlaglichtern auf die Mathematik des Lebens, befasst sich mit solchen reinen Möglichkeiten. Gemäß der Definition Nemirovskys und Ferraras bezeichnet »rein« hier etwas, das von Erfahrung oder Erwartung unbeeinflusst bleibt. Dass wir niemals ein unendlich langes Buch gelesen, bis unendlich (und darüber hinaus!) gezählt oder Kontakt zu Außerirdischen aufgenommen haben (all das wird im Buch behandelt), sollte uns nicht von der Frage Was wäre, wenn ...? abhalten.

Die Auswahl der Gegenstände, die ich behandele, ist rein persönlich und daher eklektisch. Autobiografische Elemente kommen vor, aber die Betonung liegt auf der Außenwelt. Einige der Kapitel sind biografisch – sie handeln von der ersten Begegnung des jungen Shakespeare mit der Null im Mathematikunterricht (das war im 16. Jahrhundert noch eine Neuheit) oder dem Kalender, den der Dichter und Mathematiker Omar Khayyam für seinen Sultan entwickelte. Andere führen den Leser um die Welt und zurück in die Vergangenheit – Kapitel über den Schneefall in Québec, das Zählen von Schafen in Island und die Debattierkultur des alten Griechenland, die die Entwicklung der mathematischen Vorstellungskraft im Westen beförderte.

Die Literatur fügt der Entdeckungsreise in dieses Land der reinen Möglichkeiten noch eine weitere Dimension hinzu. Nemirovsky und Ferrara schreiben, es gebe zahlreiche Übereinstimmungen im Denk- und Kreativitätsmuster bei Schriftstellern und Mathematikern (zwei Berufen, die oft als unvereinbar gelten). Im Kapitel »Die Poesie der Primzahlen«, das diesem Buch den Titel gab, befasse ich mich zum Beispiel damit, wie bestimmte Gedichte mit der Zahlentheorie übereinstimmen.

Die folgenden Seiten sind ein Ausdruck dessen, wie sich meine Perspektive auf die Welt seit jenem entscheidenden Sommer in Südengland gewandelt hat. Reisen von Land zu Land, den Übersetzungen meiner Bücher in verschiedene Sprachen nach, haben viel zu meiner wachsenden Fähigkeit beigetragen, das Leben wahrzunehmen und es mir in seiner Fülle vorzustellen. Die Erforschung der zahlreichen Verbindungen zwischen Mathematik und Literatur war ein weiterer Ansporn. Heute lebe ich im Herzen von Paris und widme meine ganze Zeit dem Schreiben. Ich sitze jeden Tag an einem Tisch und frage mich: Was wäre, wenn ...?

Daniel Tammet

Paris

März 2012

1

Familienwerte

In einem kleinen Vorort von London, in dem nie viel passierte, war meine Familie das Stadtgespräch. Während meiner gesamten Teenagerzeit bekam ich überall dieselbe Frage zu hören: »Wie viele Geschwister hast du?«

Die Antwort kannte, wie ich merkte, ohnehin schon jeder. Sie war zum Bestandteil der örtlichen Folklore geworden und wurde wie gutes Seemannsgarn immer weitererzählt.

Ich antwortete trotzdem pflichtschuldig und geduldig: »Fünf Schwestern und drei Brüder.«

Meine kurze Antwort rief stets eine deutliche Reaktion beim Zuhörer hervor: Die Leute runzelten die Stirn, rollten die Augen und verzogen lächelnd die Lippen. »Neun Kinder!«, riefen sie dann, als ob sie sich gar nicht vorstellen konnten, dass Familien so groß sein konnten.

In der Schule war es nicht anders. »J’ai une grande famille« (Ich habe eine große Familie) war einer der ersten Sätze, die ich in Monsieur Oiseaus Französischunterricht lernte. Meinen Mitschülern, viele von ihnen Einzelkinder, entlockte der Anblick von uns vielen Geschwistern Kommentare, die von leichter Verachtung bis zu offener Bewunderung reichten. Unsere besondere Berühmtheit überstrahlte eine Zeitlang alle anderen auffälligen Menschen im Viertel: Der einhändige Gemüsemann, die fette Inderin, der singende Hund des Nachbarn – sie rückten alle in den Hintergrund. Meine Geschwister wurden nicht als Individuen wahrgenommen, sondern nur in der Gesamtzahl. Wir konnten der Qualität unserer Quantität nicht entkommen, sie eilte uns stets voraus, sogar im Französischen, wo doch die Adjektive gewöhnlich dem Bezugsnomen folgen (aber eben nicht bei une grande famille).

Wahrscheinlich ist es kein Wunder, dass ich eine Vorliebe für Zahlen entwickelte, wo ich doch so viele Geschwister zu zählen hatte. Von meiner Familie habe ich früh gelernt, dass Zahlen ein Bestandteil des Lebens sind. Meine Mathematik stammte zum größten Teil nicht aus Büchern, sondern aus Alltagsbeobachtungen und sozialen Kontakten. Mir wurde klar, dass numerische Muster der Stoff waren, aus dem unsere Welt besteht. Ein Beispiel: Wir neun Kinder verkörperten das Dezimalsystem: null (wenn wir uns allesamt nicht an einem gegebenen Ort aufhielten) bis neun. Sogar unser Verhalten war arithmetisch: Streitigkeiten dividierten uns manchmal auseinander; vorübergehende Bündnisse zwischen einzelnen Geschwistern sorgten für immer neue Kombinationen.

Wir, meine Geschwister und ich, sind in der Sprache der Mathematik eine »Menge« aus neun Elementen. Ein Mathematiker drückt das so aus:

S = {Daniel, Lee, Claire, Steven, Paul, Maria, Natasha, Anna, Shelley}

Anders formuliert, gehören wir zur Kategorie der Dinge, auf die man sich bezieht, wenn man die Zahl Neun gebraucht. Andere Mengen dieser Kategorie umfassen die Planeten des Sonnensystems (zumindest bis zur Herabstufung des Pluto zu einem Zwergplaneten), die Felder beim Tic Tac Toe, die Spieler einer Baseballmannschaft, die griechischen Musen und die Richter des Obersten Gerichtshofs der USA. Durch kurzes Nachdenken fallen einem noch mehr ein, zum Beispiel:

{Februar, März, April, Mai, August, September, Oktober, November, Dezember} mit S = alle Monate, die nicht mit J beginnen.

{5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König} mit S = alle möglichen höchsten Karten in einem Straight Flush beim Poker.

{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} mit S = die Quadratzahlen zwischen 1 und 99.

{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} mit S = alle ungeraden Primzahlen unter 30.

Insgesamt sind das neun Beispiele von Mengen mit neun Elementen, wodurch wir eine weitere 9er-Menge erhalten.

Genau wie Farben verleihen die Zahlen unserer Welt Charakter, Form und Tiefe. Von den häufigsten – Null und Eins – könnte man sagen, sie seien wie Schwarz und Weiß, während die anderen Grundfarben – Rot, Blau und Grün – Zwei, Drei und Vier gleichen. Die Neun wäre dann eine Art Kobalt- oder Indigoblau; in einem Gemälde wäre sie eher für Schatten als für Umrisse zuständig. Mit der Neun rechnen wir daher nicht sehr oft; wir erwarten nur gelegentlich und auf eher subtile Weise auf sie zu stoßen, so wie man auch nicht oft etwas Indigoblaues sieht. Eine Familie mit neun Kindern überrascht daher genauso wie eine Frau mit kobaltblau gefärbten Haaren.

Vielleicht gab es auch noch einen anderen Grund für die Verwunderung der Leute in unserem Viertel. Die ständig wechselnden Bündnisse von uns Geschwistern erwähnte ich bereits. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um eine Menge von neun Elementen zu teilen und zu kombinieren? Anders ausgedrückt, wie groß ist die Menge aller Untermengen?

{Daniel} … {Daniel, Lee} … {Lee, Claire, Steven} … {Paul} … {Lee, Steven, Maria, Shelley} … {Claire, Natasha} … {Anna} …

Glücklicherweise kennt sich die Mathematik mit solchen Berechnungen aus. Wir müssen lediglich die Zahl Zwei mit sich selbst multiplizieren, und zwar so oft, wie die Menge Elemente umfasst. Bei einer Menge mit neun Elementen lautet die Antwort auf unsere Frage also: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512.

Das heißt, dass es 512 Möglichkeiten gab, uns in verschiedenen Kombinationen anzutreffen! So wird ein wenig klarer, warum wir so viel Aufmerksamkeit erregten. Den anderen Leuten muss es vorgekommen sein, als sei unsere Zahl Legion.

Man kann sich die Rechnung, die ich gerade durchgeführt habe, auch so vorstellen: Gegeben sei irgendein zufälliger Ort in unserem Viertel, etwa ein Klassenzimmer oder das Schwimmbad. Die erste Zwei in der Berechnung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ich mich dort zu einer gegebenen Zeit aufhalte (ich bin entweder da oder nicht). Dasselbe gilt für jedes meiner Geschwister, und deshalb wird diese Zwei neunmal mit sich selbst multipliziert.

In genau einer dieser Kombinationen ist jeder einzelne meiner Brüder und jede einzelne Schwester abwesend (genauso, wie wir in genau einer Kombination alle anwesend sind). Der Mathematiker nennt solche Mengen ohne Elemente ›leere Mengen‹. Es klingt zwar seltsam, aber wir können diese Mengen ohne Inhalt sogar definieren. Genau wie Mengen mit neun Elementen alles umfassen, woran wir denken, worauf wir zeigen oder was wir berühren können, wenn wir an die Zahl Neun denken, sind leere Mengen alle jene, die den Wert null darstellen. Während also eine Weihnachtsfeier in meinem Heimatort genauso viele von uns zusammenbringen kann, wie es Richter am Obersten Gerichtshof der USA gibt, wird man bei einem Mondflug höchstens so viele von uns antreffen, wie es rosa Elefanten, viereckige Kreise oder Menschen gibt, die den Atlantik durchschwommen haben.

Nicht nur beim Zählen, sondern auch beim Denken und Wahrnehmen setzt unser Geist Mengen ein. Unsere Gedanken und Wahrnehmungen zu diesen Mengen haben eine schier unendliche Bandbreite. Der argentinische Schriftsteller Jorge Luis Borges, den die je nach Kultur unterschiedlichen Kategorisierungen einer unendlich komplexen Welt faszinierten, illustriert das in seiner fiktiven chinesischen Enzyklopädie Der himmlische Basar heilsbringenden Wissens auf ironische Weise:

Tiere werden wie folgt klassifiziert: (a) solche, die dem Kaiser gehören; (b) einbalsamierte Tiere; (c) dressierte Tiere; (d) Ferkel; (e) Meerjungfrauen; (f) Fabeltiere; (g) streunende Hunde; (h) Tiere, die in dieser Klassifizierung aufgeführt sind; (i) Tiere, die wie tollwütig zittern; (j) unzählbar viele Tiere; (k) Tiere, die mit einem sehr feinen Kamelhaarpinsel gezeichnet werden; (l) et cetera; (m) Tiere, die gerade die Blumenvase zerbrochen haben; (n) Tiere, die aus der Entfernung Fliegen gleichen.

Nie um hintergründigen Humor verlegen, macht Borges mit dieser Liste ein faszinierendes Problem anschaulich: Bei einer uns so vertrauten Menge wie der der ›Tiere‹ erwarten wir zwar eine umfangreiche, aber endliche Aufzählung. Die Anzahl ihrer möglichen Teilmengen jedoch geht ins Unendliche. Die anerkannten taxonomischen bzw. klassifizierenden Systeme mit ihrer Handvoll vager Bezeichnungen (›Säugetier‹, ›Reptil‹, ›Amphibie‹ usw.) verschleiern diese Tatsache. Wenn man zum Beispiel einen Floh als winzig, als Parasiten und als ausgezeichneten Springer beschreibt, hat man gerade erst angefangen, die Liste seiner möglichen Aspekte anzuführen.

Zweitens ist die Definition einer Menge eher eine Kunst als eine Wissenschaft. Angesichts des Problems einer nahezu endlosen Anzahl möglicher Kategorisierungen neigen wir dazu, uns auf wenige zu beschränken – jene, die in unserer eigenen Kultur am gebräuchlichsten sind. In westlichen Untergliederungen der Menge aller Elefanten werden Teilmengen wie ›sehr große Elefanten‹ und ›Elefanten mit Stoßzähnen‹ oder auch ›Elefanten mit ausgezeichnetem Gedächtnis‹ bevorzugt. Diese Wahrnehmung schließt andere legitime Möglichkeiten aus, wie z.B. Borges’ ›solche, die aus der Entfernung einer Fliege gleichen‹ oder die hinduistischen ›Elefanten, die Glück bringen‹.

Das Gedächtnis ist ein weiteres Beispiel der Vorliebe für bestimmte Teilmengen (von Erfahrungen) gegenüber anderen, und zwar durch die Art und Weise, wie wir über die Dinge denken und sprechen. Wenn man jemanden fragt, wie er seinen Geburtstag verbracht hat, erinnert er sich vielleicht an das klebrige Stück Schokokuchen, das er hinunterschlang, an die herzliche Umarmung seiner Frau und an die neongrünen Socken, die ihm seine Mutter schenkte. Sein Ehrentag bestand aber noch aus vielen Hundert oder Tausend anderen Einzelheiten, vom Banalen (die Krümel des Frühstückstoasts, die er sich vom Schoß wischte) bis zum Merkwürdigen (ein plötzlicher Hagelschauer am Nachmittag, obwohl es Mitte Juli war). An die meisten dieser Teilmengen wird er sich aber überhaupt nicht mehr erinnern können.

In Borges’ Liste der ›Tiere‹ stellen mehrere Einträge ein Paradoxon dar, zum Beispiel die Teilmenge (j) ›unzählbar viele Tiere‹. Wie kann die Teilmenge einer Menge – selbst, wenn sie imaginär ist, wie in diesem Fall – unendlich groß sein? Muss ein Teil des Ganzen nicht kleiner sein als das Ganze?

Borges’ Taxonomie ist ganz offensichtlich von der Arbeit Georg Cantors inspiriert, eines deutschen Mathematikers des 19. Jahrhunderts, dessen Forschungen zum Begriff des Unendlichen eine Antwort auf diese Frage bereithalten.

Cantor konnte zeigen, dass es Teile eines Ganzen (also Teilmengen einer Menge) gibt, die genauso groß sind wie das Ganze (die Menge). Zählen bedeutet, so seine Beobachtung, dass man die Elemente einer Menge mit denen einer anderen ins Verhältnis setzt. »Zwei Mengen A und B haben genau dann dieselbe Anzahl Elemente, wenn eine vollkommene Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen beiden besteht.« Indem ich also jedes meiner Geschwister und mich selbst mit einem Spieler einer Baseballmannschaft oder einem nicht mit J beginnenden Monat abgleiche, gelange ich zu dem Schluss, dass alle diese Mengen einander gleichwertig sind, weil sie alle genau neun Elemente enthalten.

An dieser Stelle kommt Cantors Geniestreich ins Spiel: Er verglich die Menge der natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, …) mit ihren Teilmengen, zum Beispiel derjenigen der geraden Zahlen (2, 4, 6, 8, 10, …), der ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7, 9, …) und der Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, …). Und Cantor entdeckte dabei, dass er, parallel zur genauen Entsprechung zwischen den Baseballspielern einer Mannschaft und der Menge meiner Geschwister einschließlich meiner selbst, jeder natürlichen Zahl genau eine gerade, eine ungerade und eine Primzahl zuordnen konnte. Das führt zu dem verblüffenden Schluss, dass es genauso ›viele‹ gerade oder ungerade oder Primzahlen gibt, wie es Zahlen insgesamt gibt.

Wenn ich Borges lese, muss ich daran denken, wie viele mögliche Teilmengen es für die ›Menge‹ gibt, die meine Familie bildet, und zwar über die reinen Kombinationsmöglichkeiten ihrer Mitglieder hinaus. Meine Geschwister sind inzwischen alle erwachsen, manche haben selbst Kinder, andere sind weggezogen, an jene wärmeren Orte, von denen man Postkarten bekommt. Wir haben nur noch selten die Gelegenheit zu einem Familientreffen, was sehr schade ist. Natürlich kann ich hier nicht unparteiisch urteilen, aber für mich ist die Liebenswürdigkeit meiner Familie proportional zu ihrer Größe. Dabei spielt Letztere für uns, ihre Mitglieder, schon lange keine Rolle mehr. Dennoch schließen wir noch Bündnisse, unterteilen uns in Mengen: zum Beispiel in Geschwister, die fleißig sind, die lieber Kaffee als Tee trinken, die noch nie eine Blume gepflanzt haben, die noch im Schlaf lachen ...

Genau wie Werke der Dichtung können uns mathematische Ideen eine Hilfe dabei sein, unsere Empathie zu erweitern und uns von der Tyrannei eines einzigen, eingeschränkten Blickpunktes zu befreien. Zahlen machen uns, richtig betrachtet, einfach zu besseren Menschen.

2

Die Ewigkeit in einer Stunde

Es war einmal ein Kind, das gerne Märchen las. Dieses Kind war ich. Zu meinen Lieblingsmärchen gehörte Der süße Brei von den Gebrüdern Grimm: Ein armes, aber liebes Mädchen bekommt von einer Zauberin einen Kochtopf geschenkt, der auf den Befehl »Töpfchen, koch« so viel süßen Hirsebrei kocht, wie das Mädchen und seine Mutter essen möchten. Eines Tages, als das Töchterchen nicht zu Hause ist, vergisst die Mutter die magischen Worte »Töpfchen, steh«, damit der Topf zu kochen aufhört.

»Und so kochte das Töpfchen immer weiter, und der süße Brei quoll über den Rand, und noch immer kochte es weiter, bis der süße Brei die Küche und das ganze Haus überquoll, und dann das nächste Haus, und dann die ganze Straße, als wolle es den Hunger der ganzen Welt stillen.« Erst als die Tochter wieder nach Hause kommt und den Spruch aufsagt, kann die klebrige Brei-Lawine endlich angehalten werden.

Mit diesem Märchen führten mir die Gebrüder Grimm erstmals das Geheimnis der Unendlichkeit vor Augen. Wie konnte so viel süßer Brei aus einem so kleinen Topf quellen? Ich kam ins Grübeln. Ein einziges Hirsekorn ist sehr klein. In einer Schüssel kann man es mit dem Löffel kaum finden. Dasselbe gilt für einen Tropfen Milch und ein Körnchen Zucker.

Wenn nun aber ein magischer Kochtopf diese kleinen Hirsekörner, Milchtropfen und Zuckerkörnchen auf seine eigene besondere Weise verteilte? Und zwar so, dass jedes Körnchen, jeder Tropfen und jedes Zuckerkörnchen eine eigene Position im Topf bekam und sie einander nicht berührten? Ich stellte mir 5, 10, 50, 100 und 1000 isolierte Körner, Tropfen und Körnchen vor, die im gekrümmten Raum schwebten wie Sterne. Immer mehr Hirsekörner, mehr Milchtropfen und Zuckerkörnchen würden hinzugefügt, so dass sie schließlich Konstellationen, winzige Große Wagen und Große Bären bilden. Nehmen wir nun an, wir erreichten das 10473. Hirsekorn. Wo stecken wir es hin? Hier stellte mein kindlicher Geist sich all die winzigen Lücken – Tausende Lücken – zwischen den Hirsekörnern, Milchtropfen und Zuckerkörnern vor. Für jedes neue Korn würden auch neue winzige Lücken entstehen. Solange der Topf auf seine magische Art jede Berührung zwischen den Körnern verhinderte, würde jedes neue Hirsekorn (und jeder Milchtropfen und jedes Zuckerkörnchen) seinen Platz finden.

Hans-Christian Andersens Märchen Die Prinzessin auf der Erbse ließ mich in meiner Vorstellung ebenfalls zu einer Reise ins Unendliche aufbrechen, diesmal aber in die Unendlichkeit der Bruchteile. Eines Nachts klopft eine junge Frau, die sich als Prinzessin ausgibt, an die Tür eines Schlosses. Draußen stürmt es, und die Regenschauer durchweichen ihr Kleid und färben ihr goldenes Haar schwarz. Sie sieht so elend aus, dass die Königin nicht glaubt, dass das Mädchen adeliger Herkunft ist. Um die junge Frau zu prüfen, lässt die Königin eine Erbse unter die Liegestatt legen, auf der sie die Nacht verbringen soll: 20 aufeinandergestapelte Matratzen; am nächsten Morgen beklagt die junge Frau sich, dass sie kein Auge zugetan habe. Der Gedanke an diesen aufgetürmten Matratzenstapel ließ auch mich wochenlang kein Auge zutun. Nach meiner Berechnung würde eine zweite Matratze die Entfernung zwischen dem Rücken der Prinzessin und der störenden Erbse verdoppeln. Das harte kleine Gemüse wäre damit nur noch halb so gut spürbar wie unter einer Matratze. Eine weitere Matratze würde die Spürbarkeit auf ein Drittel reduzieren. Mir leuchtete ein: Wenn die Prinzessin so empfindlich ist, dass sie eine halbe Erbse (unter zwei Matratzen) oder eine Drittelerbse (unter drei Matratzen) spüren kann, warum sollte sie dann nicht auch feinnervig genug sein, um eine Zwanzigstel-Erbse zu spüren? Meine Vorstellung ging aber noch weiter. Grenzenlose Sensibilität vorausgesetzt (wir befinden uns schließlich im Märchen), würde für die Prinzessin auch eine Hundertstel-, Tausendstel- oder Millionstel-Erbse unerträglich.

Das führte mich zurück zu den Brüdern Grimm und dem Märchen vom süßen Brei. Für die Prinzessin fühlte sich schon eine einzige Erbse unendlich groß an; eine riesige Lawine von Brei konnte nur durch unendlich kleine Zwischenräume zwischen den Körnern entstehen.

»Du hast zu viel Fantasie«, sagte mein Vater, als ich ihm davon erzählte. »Dauernd steckst du die Nase in Bücher.« Mein Vater besaß bloß einen Stapel Taschenbücher und kaufte sich regelmäßig die Wochenendausgaben der Times, aber er war kein besonders begeisterter Leser. »Spiel lieber draußen – es tut dir nicht gut, den ganzen Tag im Haus eingepfercht zu sein.«

Das Versteckspiel im Park mit meinen Geschwistern dauerte zehn Minuten. Die Schaukel interessierte mich etwa genauso lange. Wir spazierten einmal um den See und warfen Brotkrumen hinaus auf das schmutzige Wasser. Sogar die Enten wirkten gelangweilt.

Im Garten zu spielen war unterhaltsamer. Wir spielten Krieg, Zaubern und Zeitreise. In einem Pappkarton segelten wir den Nil hinab und erklärten ein Bettlaken zu einem Zelt in den sieben Hügeln Roms. Dann wieder lief ich einfach nach Herzenslust durch unser Viertel und dachte mir alle möglichen Abenteuer und Expeditionen aus.

Als ich eines Tages gerade aus China zurückkam, hörte ich das Grummeln eines nahenden Gewitters und suchte Deckung in der Gemeindebibliothek. Dort kannten mich alle, ich war Stammgast. Beim Hereingehen tauschte ich immer ein angedeutetes Nicken mit den Bibliothekaren aus. Ganze Korridore voller Bücher erstreckten sich um sie herum, in Jahrhunderten angehäuftes Wissen bedeckte die Wände, und ich fuhr im Gehen mit den Fingerspitzen die scheinbar endlosen Bücherreihen entlang.

Meine Lieblingsabteilung war angefüllt mit Wörterbüchern und Lexika, den Mauersteinen unter den Büchern. Sie versprachen die Summe allen menschlichen Wissens (was sie allerdings nicht halten konnten): alle Tatsachen, alle Begriffe, alle Wörter. Diese ungeheure Informationsvielfalt war durch Gliederung in Abteilungen gebändigt – A bis C, D bis F, G bis I –, und jede Abteilung enthielt Unterabteilungen – Aa bis Ad ... Di bis Do ... Il bis In. Viele von diesen hatten wieder eigene Unterabteilungen – Hai bis Han ... Una bis Unf –, und selbst von diesen teilten sich manche noch weiter – Inte bis Intr zum Beispiel. Wo sollte man da anfangen? Und, was vielleicht noch wichtiger war, wo sollte man aufhören? Ich überließ die Entscheidung gewöhnlich dem Zufall. Ich zog irgendeinen Lexikonband aus dem Regal, öffnete ihn auf gut Glück und saß dann eine Stunde lang da und las über Bora Bora, über die Borborygmi und die Borg-Skala für subjektives Belastungsempfinden.

Gedankenverloren bemerkte ich zunächst nicht das hartnäckige Tapp tapp der sich nähernden Schritte auf dem gebohnerten Boden. Sie gehörten zu einem der leitenden Bibliothekare, der zugleich unser Nachbar war; seine Frau war mit meiner Mutter befreundet. Er war hochgewachsen (wobei für ein Kind natürlich alle Erwachsenen groß sind) und dünn, und auf seinem langen Kopf saßen ganz oben ein paar Büschel ergrauender Haare.

»Ich habe ein Buch für dich«, sagte der Bibliothekar. Ich spähte einen Moment lang nach oben, bevor ich ihm seine Empfehlung aus den großen Händen nahm. Der Umschlag trug einen Aufkleber, der besagte, dass es sich um die Monatsauswahl des Bookworm Club, des Vereins der Bücherwürmer, handele. Das Buch hieß Die Borger. Ich bedankte mich brav, weniger aus echter Dankbarkeit als aus dem Wunsch heraus, der Bibliothekar möge aus dem Licht gehen und die plötzliche Verdunkelung meines Lesetisches beenden. Doch als ich diesen eine Stunde später verließ, nahm ich das Buch mit, ordnungsgemäß entliehen und fest unter den Arm geklemmt.

Es erzählte die Geschichte einer winzigen Familie, die unter den Fußbodendielen eines Hauses lebte. Um ihr kleines Heim zu vollenden, wagte der Vater sich von Zeit zu Zeit hinaus und ›borgte‹ sich dies und das aus dem Haushalt.

Meine Geschwister und ich versuchten uns vorzustellen, wie es wohl wäre, so klein zu sein. Vor meinem geistigen Auge wuchs die Welt immer weiter. Je kleiner ich wurde, desto größer wurde meine Umgebung. Das Vertraute sah plötzlich seltsam aus; das Seltsame wurde vertraut. Ein Gesicht mit Ohren und Augen und Haaren wurde auf einmal zu einem rosa gefärbten Feld voller Büsche, Furchen und Gänge. Selbst der kleinste Fisch wird zum Wal. Staubflocken fliegen davon wie Vögel, sie segeln und kreisen über meinem Kopf. Ich schrumpfte, bis alles Vertraute restlos verschwunden war und ich einen Berg Bügelwäsche nicht mehr von einem Felsen unterscheiden konnte.

Bei meinem nächsten Bibliotheksbesuch trat ich prompt dem Verein der Bücherwürmer bei. In jedem Monat wurde ein klassisches Kinderbuch empfohlen, einige von ihnen fand ich durchaus spannender als andere, aber am allerbesten war die Dezembergeschichte, die mich wirklich packte: Die Königin von Narnia aus C.S. Lewis’ Chroniken von Narnia. Als ich das Buch aufschlug, folgte ich Lucy, die mit ihren Geschwistern »aus London weggeschickt wurde, weil Krieg war und es Luftangriffe gab … und zwar zu einem alten Professor, dessen Haus im Herzen des Landes lag.« Es war »die Art Haus, in dem man nie ans Ende zu kommen scheint, und es war voller unerwarteter Orte«.

Mit Lucy trat ich in den großen Kleiderschrank eines ansonsten leeren Raumes, auch meine Frisur zerzaust von den dichtgepackten Reihen staubpelziger Kleider, und tastete mich mit ausgestreckten Fingern zur Rückwand vor. Auch ich hörte plötzlich Schnee unter den Schuhen knirschen und sah, wie die Pelzmäntel den Kiefern dieses magischen Landes wichen, das nur so weit entfernt lag, wie der Kleiderschrank tief war.

Narnia wurde zu einem meiner Lieblingsorte, und in diesem Winter war ich sehr oft dort. Immer wieder las ich die Geschichte, und sie versorgte mich monatelang mit strahlenden Gedanken und Bildern.

Eines Tages, auf dem kurzen Weg von der Schule nach Hause, geschah es, dass ich mich wieder in Narnia befand, auf dem Weg zurück in die Realität: Die Lampen, die sich die Straße entlangzogen, erinnerten mich an die Straßenlampe in Narnia, jenen Punkt in der Landschaft, von dem aus die Kinder in die Wärme und den Mottenkugelduft des Kleiderschranks im Haus des Professors zurückkehrten.

Es war noch Nachmittag, aber die Lampen brannten bereits. Ihre fluoreszierenden Halos standen in gleichmäßigen Abständen am dämmrigen Himmel. Ich zählte mit, wie lange ich mit gleich langen Schritten von einem Mast zum nächsten brauchte. Acht Sekunden. Dann ging ich denselben Weg zurück und zählte dabei rückwärts. Ich kam zum selben Ergebnis. Einige Häuser weiter, dort, wo ich wohnte, ging gerade das Licht an; gelbe Rechtecke glommen gedämpft zwischen roten Ziegeln. Doch ich beachtete sie kaum.

Ich dachte über diese acht Sekunden nach. Um die nächste Straßenlampe zu erreichen, musste ich eine bestimmte Anzahl Schritte machen. Bevor ich dort ankam, würde ich zunächst den Punkt auf halber Strecke erreichen müssen. Das würde vier Sekunden dauern. Das bedeutete allerdings, dass die noch verbleibenden vier Sekunden ebenfalls einen Punkt auf halber Strecke hatten. Diesen Punkt würde ich sechs Sekunden nach dem Losgehen erreichen. Danach trennten mich dann noch zwei Sekunden von meinem Ziel. Bevor ich es erreichte, würde ich aber einen weiteren Punkt auf halber Strecke – eine Sekunde später – überwinden müssen. Und jetzt begann mein Gehirn unter der Wollmütze zu kochen. Denn nach sieben Sekunden würde die achte und letzte Sekunde ebenfalls einen Punkt auf halber Strecke aufweisen, siebeneinhalb Sekunden nach meinem Aufbruch. War ich dort angekommen, würde auch die verbleibende halbe Sekunde nicht vergehen, bevor ich ihren Punkt auf halber Strecke überwunden hatte. Nach 734 Sekunden würde mich dort eine hartnäckige letzte Viertelsekunde meines Weges erwarten. Hatte ich sie halb überwunden, verbliebe mir immer noch eine Achtelsekunde bis zur nächsten Straßenlampe. Dann eine Sechzehntelsekunde, dann 132 einer Sekunde, dann 164, danach 1128 und immer so weiter. Es würden immer Bruchteile von Bruchteilen von Bruchteilen einer Sekunde verbleiben, die mich vom Ziel trennten.

Plötzlich wusste ich nicht mehr, wie ich in diesen acht Sekunden überhaupt die nächste Straßenlampe erreichen, wie ich den Weg heraus aus Narnia zurücklegen sollte. Ich war mir nicht einmal mehr sicher, wie ich überhaupt vorwärtskommen sollte. Dieselben unendlichen, immer kleineren Sekundenbruchteile, die sich am Ende des Weges stauten, gab es ja auch am Anfang. Nehmen wir an, mein erster Schritt dauerte eine Sekunde; diese Sekunde hatte natürlich einen Punkt auf halber Strecke. Und bevor ich diese erste halbe Sekunde zurückgelegt hatte, musste ich schon deren Punkt auf halber Strecke erreichen (nach der ersten Viertelsekunde), und immer so weiter.

Und doch überwanden meine Beine alle diese Sekundenbruchteile genau wie immer. Ich schob den schweren Schulranzen auf dem Rücken zurecht, ging zur nächsten Straßenlampe und zählte dabei wieder bis acht. Das Wort hallte trotzig in die scharfe, kühle Luft hinein. Die Stille danach war allerdings nur von kurzer Dauer. »Was machst du draußen im Dunkeln in der Kälte?«, rief mein Vater aus dem gelben Rechteck der offenen Haustür. »Komm sofort rein!«

Aber ich vergaß die Unendlichkeit der Bruchteile, die zwischen den Straßenlampenmasten lauerte, nicht. Tag für Tag wurde ich unwillkürlich immer langsamer, wenn ich an ihnen vorbeiging, weil ich befürchtete, womöglich in die Lücken zwischen den ganzen Sekunden zu fallen. Wie seltsam muss ich mit meinem runden Wollkopf und der ausgebeulten

Schultasche auf dem Rücken ausgesehen haben, wenn ich mich vorsichtig mit winzigen Schritten voranarbeitete!

Zahlen innerhalb von Zahlen, und so winzig klein! Ich war verblüfft. Diese Bruchteile von Bruchteilen von Bruchteilen von Bruchteilen gingen unendlich weit. Wenn man einen davon zu null addierte, machten sie kaum etwas aus. Wenn man Dutzende, Hunderte, Tausende, Millionen, Milliarden davon zu null hinzufügte, war das Ergebnis immer noch fast null. Erst unendlich viele dieser Bruchteile führten von null zu eins, von nichts zu etwas:

12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 + 1128 + 1256 + 1512 + 11024 … = 1.

Eines Abends, kurz nach Neujahr, schärfte mir meine etwas nervöse Mutter ein, mich ja zu benehmen, denn gleich würden Gäste – eine Seltenheit für uns – zum Abendessen kommen. Meine Mutter wollte sich anscheinend für einen Gefallen der Frau des Bibliothekars bedanken. »Keine komischen Fragen«, befahl sie, »die Ellenbogen vom Tisch. Und nach einer Stunde ab ins Bett!«

Der Bibliothekar und seine Frau kamen pünktlich und brachten eine Flasche Wein mit, die meine Eltern nie öffnen würden. Unsere Gäste fuchtelten sich Rücken an Rücken aus ihren Mänteln, bevor sie sich nebeneinander an den Esstisch setzten. Die Frau lobte das karierte Tischtuch meiner Mutter. »Wo haben Sie das bloß bekommen?«, fragte sie. Ihr Mann seufzte.

Brathähnchen mit Kartoffeln, Erbsen und Möhren wurden aufgetragen. Zwischen den Bissen redete der Bibliothekar ununterbrochen. Alle Augen ruhten auf ihm. Er sprach über das Wetter, über Fragen der Lokalpolitik und über den Unsinn, der den ganzen Tag im Fernsehen lief. Seine Frau neben ihm aß langsam und mit einer Hand, während sie sich mit der anderen permanent eine dünne schwarze Haarsträhne aus dem Gesicht strich. Einmal versuchte sie den Monolog ihres Mannes zu unterbrechen, indem sie mit der freien Hand sanft über seine verkrampfte Faust fuhr.

»Was ist denn?«

»Nichts.« Sie legte die Gabel auf den Teller. Sie sah aus, als wolle sie gleich in Tränen ausbrechen.

Meine Eltern, unerfahren im Umgang mit Gästen, tauschten hilflose Blicke. Eilig wurden die Teller abgeräumt und Eiscreme als Nachtisch serviert. Eine frostige Atmosphäre senkte sich über das Zimmer.

Ich dachte an die Unendlichkeit des Raumes, der zwei menschliche Herzen trennen kann – bestehend aus unsagbar kleinen und immer kleiner werdenden Abschnitten.

3

Auf Isländisch bis vier zählen

Man frage einen Isländer, welche Zahl nach drei kommt, und er wird antworten: »Drei wovon?« Man ignoriere die warme Röte des Ärgers, wenn sie einem in die Wangen steigt, und schlage einen Gegenstand vor; am besten zeigt man auf etwas. »Ah«, sagt unser Isländer. Die vier windzerzausten Schafe starren teilnahmslos auf den ausgestreckten Zeigefinger. »Fjórar«, erklärt er dann schließlich.

Wenn man den Sprachführer zur Hand nimmt – am besten eine jener praktischen Ausgaben mit wasserfestem Umschlag – und die Zahlentabelle aufschlägt, wird man neben der Ziffer 4 auf die Übersetzung fjórir stoßen. Das ist kein Druckfehler, und man hat den Isländer auch nicht falsch verstanden. Beides ist korrekt; beides bedeutet »vier«. Das sollte Ihnen einen ersten Eindruck von der Präzision des Zahlensystems dieser Menschen geben.

Ich persönlich machte zum ersten Mal vor einigen Jahren bei einer Reise nach Reykjavík mit dem Isländischen Bekanntschaft. Zum Glück kam ich ohne Sprachführer in der Tasche. Ich trug nichts Nützlicheres bei mir als eine vage Vorstellung des altenglischen Lautsystems, ein bisschen Deutsch aus der Oberstufe und eine Menge Neugier. Letztere hatte sich bereits in Frankreich bewährt; und auch hier im Norden waren mir Gespräche lieber als Lehrbücher.

Ich hasse Lehrbücher. Es stößt mich ab, wenn selbst die unzusammenhängendsten Wörter – wie »Tasse« und »Bücherregal« oder »Bleistift« und »Aschenbecher« auf ein und dieselbe Seite gezwängt und »Vokabelliste« genannt werden. In einem Gespräch fließt die Sprache, sie bewegt sich ständig, und man muss sich dieser Bewegung anpassen. Man geht und spricht und sieht, woher die Wörter kommen und welchen Weg sie einschlagen. Auf diese Weise lernte ich auch wie ein Wikinger zu zählen.

Isländer, so erfuhr ich, unterscheiden beim Zählen kleiner Mengen sehr genau, was sie zählen. Die Zahlwörter bis vier werden flektiert. »Vier« Schafe sind etwas anderes als das Zahlwort »vier« beim abstrakten Zählen. Kein Bauer aus Hveragarði würde auch nur im Traum daran denken, seine Schafe abstrakt zu zählen; genauso wenig würde seine Frau, sein Sohn, der Pfarrer oder sein Nachbar das tun. Beide Zahlwörter in einem Lehrbuch nebeneinander aufzuführen ergäbe für sie keinen Sinn.

Diese numerische Artenvielfalt beschränkt sich nicht auf Schafe. Natürlich kommen diese wolligen Säugetiere in der Unterhaltung von Stadtmenschen eher wenig vor. Nicht anders als Sie und ich sprechen meine Freunde aus Reykjavík vielmehr über Geburtstage, Busse und Jeans, aber anders als im Englischen erfordern alle diese Dinge im Isländischen ebenfalls ihre eigenen Zahlwörter.

Ein Kleinkind, das zwei Jahre alt wird, ist zum Beispiel tveggja, auch wenn der Sprachführer Ihnen weismacht, »zwei« heiße tveir. Das Lebensalter wird, obwohl es in unserer Denkweise so abstrakt wie das Zählen selbst ist, im Isländischen ein sehr gegenständliches Phänomen. Vielleicht spüren auch Sie den Unterschied: Das Wort tveggja verlangsamt die Sprechweise und deutet auf Dauer. Im Wort für einen Vierjährigen, fjögurra, hört man das womöglich noch deutlicher.

Bemerkenswert ist, dass diese Formen fast ausschließlich auf das Verstreichen der Jahre angewandt werden – man hört sie kaum bei Gesprächen über Monate, Tage oder Wochen. Die Uhrzeit dagegen wird im Mund des Isländers so kurz und trocken wie das Ticken einer Uhr: Die Stunde nach ein Uhr heißt tvö.

Wie steht es mit Linienbussen? Hier geht es um Bezeichnung statt um Menge. In Großbritannien oder den USA sagen wir zum Beispiel »the number three bus« (etwa »die Linie drei«) und machen aus der Nummer einen Namen. In Island ist das ganz ähnlich. Die am häufigsten benutzten Buslinien haben jeweils ein eigenes Zahlwort als Namen. Die Busse der Linie drei in Reykjavík heißen einfach þristur (die Zahl Drei beim Zählen dagegen þrír), und die der Linie vier muss man fjarki nennen, wenn man als richtiger Isländer durchgehen will.

Ein drittes Beispiel sind Dinge, die in Paaren auftreten – Jeans oder Shorts, Socken oder Schuhe. In diesem Fall bildet der Isländer zu »eins« die Mehrzahl: Es heißt einar Paar Jeans, während der Sprachführer für »ein« hier einn angibt.

Mit Geduld und Übung habe ich all das gelernt – so viele Zahlwörter alleine schon bis vier, dass man im Englischen damit bis 50 zählen könnte. Warum brauchen die Isländer so viele Zahlwörter für so wenige Zahlen? Andersherum könnte man sich natürlich fragen, warum man im Englischen von so vielen Zahlen in so wenigen Wörtern spricht? Die sprachwissenschaftliche Antwort ist, dass das Englische die Kasusflexion aufgegeben hat. Ich würde sagen, im Englischen sieht man die Zahlen als mehr oder weniger ätherisch an – als Kategorien, nicht als Eigenschaften. Bei den kleinen Zahlen im Isländischen ist das anders. Wir könnten ihre Varianten von eins, zwei, drei und vier etwa mit unseren Wörtern für Farbnuancen vergleichen. Wo das englische Wort red für »rot« abstrakt und unabhängig von seinem Bezugswort ist, drücken Wörter wie crimson, scarlet und burgundy (»karmin«, »scharlacharot« und »burgunderfarben«) jeweils eine ganz eigene Schattierung sowohl in der Bedeutung wie in der Anwendung aus.

Isländer stellen sich also die kleinen Zahlenwerte mit denselben Nuancen vor, die wir für Farbwörter reservieren. Es gibt sicher einen Grund, warum sie damit bei der Zahl fünf (für die es, wie auch für alle höheren Zahlen, nur einen einzigen Ausdruck gibt) aufhören. Ein Psychologe würde uns dazu sagen, dass man Gruppen bis zu vier Gegenständen auf einmal erkennen kann, ohne sie erst zählen zu müssen. Wir sehen drei Knöpfe an einem Hemd und sagen »drei«, wir werfen einen Blick auf vier Bücher, die auf einem Tisch liegen, und sagen »vier«. Das geschieht ohne bewusstes Nachdenken – es erscheint uns so mühelos wie das Aussprechen der Wörter selbst. Derselbe Psychologe sagt auch, dass die kleinsten Zahlen in unserem Geist die größte Rolle spielen. Wenn man eine Zahl zwischen eins und 50 nennen soll, tendiert man immer zum Anfang der Skala (weit weniger Menschen sagen »40« als »14«). Vielleicht ist dies eine mögliche Erklärung dafür, warum uns nur die kleinsten Zahlen wirklich real vorkommen, während wir die meisten Zahlen nur auf das Wort eines Lehrers oder die Erwähnung in einem Lehrbuch hin akzeptieren. Von 40 haben wir nur eine vage Vorstellung; 14 dagegen ist etwas, das wir begreifen können, und 4 ist etwas Solides und Definites. Auf Island darf man seinem Kind sogar den Vornamen »Vier« geben.

Ich bin des Chinesischen zwar nicht mächtig, habe aber gelesen, dass das Zählen in dieser Sprache genauso verwickelt ablaufen soll wie im Isländischen.1 Ein Schäfer im ländlichen China sagt sì zhī, wenn seine Herde vier Schafe umfasst, während ein Pferdebesitzer – vorausgesetzt, er hat ebenfalls vier Tiere – von sì pĭ spricht; Reittiere zählt man im Chinesischen nämlich anders als andere Tiere. Das gilt auch für Nutztiere. Fragt man einen Bauern, wie viele Kühe er am Morgen gemolken habe, wird er sì tóu (vier) antworten.

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