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Brückenkurs Mathematik - Trigonometrie

Michael Ziegenbalg

Brückenkurs Mathematik - Trigonometrie

Trigonometie


Ich widm dieses Buch Meiner Frau Regine Konzack-Ziegenbalg und meinen Kindern Cora, Ellena, Mario und Laura.


BookRix GmbH & Co. KG
80331 München

Trigenometrie Einleitung

2. Trigonometrie

Die Winkelfunktionen  sind zweifellos ein Meilenstein in der Entwicklung der Mathematik und hier insbesondere der Geometrie. Sie ist nicht nur gekennzeichnet durch ihre große Vielfalt an Anwendbarkeit in Seefahrt, Astronomie und Bergbaukunde (hier insbesondere in der Spezialdisziplin  "Markscheidewesen" , sondern hat sie die Mathematik auch  zu weiteren Fragestellungen angeregt, insbesondere im Bereich der Definition von Funktionen, ihrer Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit, sowie zu Fragen der Invertierbarkeit von Funktionen. Darüberhinaus hat sie große Bedeutung in dem Gebiet der Fourier-Analyse erlangt, das wir hier aber nicht behandeln können. Dies alles sind aber genug Gründe sich in einem Brückenkurs admit zu befassen.

 

Einführung in die Trigonometrie

 

 

2. Eimführung in die Trigonometrie

 

2.1. Globalziele. Einordnung

 

Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck basieren auf den Gesetzen der Ähnlichkeit. Diese Beziehungen müssen offengelegt werden:

Die zentrale Einsicht ist folgender Sachverhalt aus der Ähnlichkeit:

Da zwei Dreiecke schon dann zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen, sind rechtwinklige Dreiecke schon dann zueinander ähnlich, wenn sie in einem spitzen Winkel übereinstimmen. Die Vorgabe eines spitzen Winkels alleine bestimmt die Form eines rechtwinkligen Dreiecks eindeutig, d.h. alle rechtwinkligen Dreiecke mit diesem spitzen Winkel sind zueinander ähnlich.

Daher stimmen alle rechtwinkligen Dreiecke mit gleichem spitzem Winkel in entsprechenden

Seitenverhältnissen überein. Diese Seitenverhältnisse sind folglich allein vom vorgegebenen spitzen

Winkel abhängig, also Winkelfunktionen. Man nennt sie sin, cos, tan.

Die eigentliche Dreiecksberechnung („Trigonometrie“) ist nach wie vor wichtigstes Anwendungsgebiet der Winkelfunktionen.

Der Funktionscharakter der trigonometrischen Funktionen muss klar erarbeitet und deutlich dargestellt werden.

Der Unterricht in der Trigonometrie ist „formelarm aber anwendungsreich“ zu gestalten.

 

2.3. Grobgliederung in Stufen

1. Stufe:
Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck, also mit dem Definitionsbereich 0° x 90°.

2. Stufe:
Erweiterung auf stumpfe Winkel: Sinus- und Kosinussatz am beliebigen Dreieck.

3. Stufe:
Definition am Einheitskreis und Erweiterung des Definitionsbereichs auf reelle Argumente.

Hinweis:
Beim Verzicht auf Sinus- und Kosinussatz wird Stufe 2 hinfällig.

 

2.4. Zur Stufe 1: Zugang zu den Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.

 

Eingangsfrage: Mit welcher Winkelfunktion soll man beginnen?

Für sin spricht seine grundsätzliche Bedeutung, für tan jedoch die mannigfachen Anwendungen, vor allem der Steigungsbegriff. Dieser bildet einen einfachen, harmlosen aber inhaltsreichen Zugang mit vielerlei Anknüpfungspunkten am bisherigen Mathematikunterricht. Diesen Zugang wollen wir hier etwas ausführen.

Einführende Problemstellung:

Was bedeutet 10%, 20%, ..., 50%, ... , 100% Steigung? Gibt es auch Steigungen von 150% ? Verkehrszeichen; Steigfähigkeit von KFZ; Steilheit eines Daches; etc.

 

 

 

Man kann eine Steigung angeben

Entweder durch den

Neigungswinkel x

Oder durch die

 

Steigung m = tan x =  h/w = h*/w*

 

Dabei bedeutet h den Höhenzuwachs und w die waagrechte Entfernung (nicht die zurückgelegte Strecke!!!). Steigungen von Straßen oder Eisenbahnstrecken werden in dieser Form (nicht als sin) angegeben.

Als Verhältnis zweier Strecken ist die Steigung eine reine Zahl, keine Länge!

Als ersten Schritt wird man sich ein Bild über den Zusammenhang von Neigungswinkel und Steigung verschaffen und zeichnerisch Näherungswerte bestimmen und in eine Tabelle eintragen. Am besten wählt man dafür w konstant z.B. mit 100 mm, dann sind die Werte für tan x leicht abzulesen:

 

 

Neigungswinkel x    10°   20°    30°   ...         90°

Steigung m = tan x

 

Aufgabe 1:

  1. Zeichnen Sie in eine Zeichnung verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit spitzen Winkeln von 10°, 20°, 30°, ..., 80°. (Wählen Sie die Länge w vorteilhaft und konstant!).
  2. Messen Sie die entsprechenden Seitenlängen h und w ab und berechnen Sie das Verhältnis h : w. Füllen Sie nun die obenstehende Tabelle aus.
  3. Zeichnen Sie ein Schaubild der Funktion y = tan x im Bereich 0x90°.

Zur Überraschung der meisten Schüler wird sich herausstellen, dass die Steigung von 100% zum Neigungswinkel 45° gehört und nicht zum Neigungswinkel von 90° und dass es durchaus Steigungen mit mehr als 100% gibt!

Bereits an dieser Stelle könnte man – zur Unterstreichung des Funktionscharakters – ein Schaubild der Funktion tan: xy =  tan x zeichnen lassen und Zwischenwerte ablesen lassen.

Nun wird man umgekehrt zu gegebener Steigung auch den zugehörigen Neigungswinkel ermitteln lassen, indem man – z.B. wieder mit w = 100 mm – verschiedene Werte für h vorgibt und den zugehörigen Neigungswinkel durch Zeichnung ermittelt:

 

 

Steigung m = tan x       0,10    0,20    0,30    ...   1,00        1,50      2,00       5,00        10,00    

                                      10%   20%   30%         100%    150%   200%    500%     1000%

Neigungswinkel x

 

 

Aufgabe 2:

  1. Z

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