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Brückenkurs Mathematik Logik und Mengenlehre

Michael Ziegenbalg

Brückenkurs Mathematik Logik und Mengenlehre





BookRix GmbH & Co. KG
80331 München

1.1 Allgemeine Logik

1.1 Allgemeine Logik

Die Logik ist die Lehre von Beweis und Widerlegung von Aussagen aufgrund ihrer logischen Form. Sie definiert und unterrichtet die Folgerungsbeziehungen zwischen Aussagen.

Wir kennen aus der Umgangssprache den Begriff Aussage. Jede mit Worten formulierte Feststellung ("es regnet") oder Behauptung ("1+2=3") ist eine solche Aussage.

Von solchen Sätzen läßt sich im allgemeinen bestimmen, ob sie zutreffen oder nicht, d.h. ob sie wahr sind oder nicht. Man kann also den Wahrheitswert der Aussage bestimmen.

Definition : Aussage

Ein Satz, dem eindeutig ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann, heißt Aussage.

Der zweiwertigen Logik liegt der Begriff der wahren oder falschen Aussage zugrunde. Jede Aussage hat einen Wahrheitswert:

entweder den Wahrheitswert wahr

oder den Wahrheitswert falsch

Definition : Wahrheitswert

Wenn A eine Aussage ist, dann ist W(A) der Wahrheitswert der Aussage mit :

W(A) =  wahr, falls A zutrifft

W (A) :=falsch, falls A nicht zutrifft.

Mehrere Aussagen lassen sich zu einer neuen Aussage zusammenfassen, und auch dafür läßt sich wieder ein Wahrheitswert finden.

Beispiele :

Aussage Wahrheitswert

1.

1

wahr

2.

2

falsch

3.

1 und 2

falsch

4.

1 oder 2

wahr

5.

nicht 2

wahr

Bei 1. und 2. handelt es sich um Elementaraussagen (logisch nicht zusammengesetzt), bei 3. - 5. dagegen handelt es sich um aussagelogisch zusammengesetzte Aussagen.

Die Zusammenfassung von Einzelaussagen wird in der Umgangssprache mit bestimmten Wörtern gebildet, wie folgende Beispiele zeigen:

7 ist eine Primzahl und 28 ist durch 7 teilbar;

wenn x durch 6 teilbar ist, dann ist x auch durch 3 teilbar.

Die fett gedruckten Bindewörter verknüpfen Aussagen. Jeder dieser aus Aussagen zusammengesetzte Satz ist selbst wieder eine Aussage.

Die Wahrheitswerte der Einzelaussage stehen dem Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage gegenüber.

Die Aussagenlogik vernachlässigt den Inhalt der Aussagen und betrachtet nur deren Wahrheitswert.

" Wenn x = y, dann x2 = y2 " (1)

ist eine Aussage, die die Variablen x, y für Zahlen enthält. In exakter und ausführlicher logischer Formulierung schreibt man hier z.B. für den Bereich der reellen Zahlen R :

" Für alle x aus R , für alle y aus R :

wenn x = y, dann x2 = y2 " (1')

Eine andere Art der Symbolisierung sieht so aus:

^^ ( x=y  ->  x2 = y2 )   x und y Element aus R

Dies ist eine wahre Aussage, die mit den Mitteln der Quantorenlogik formuliert ist ( = All-Quantor). Sie besagt, daß wenn der linke Teil wahr ist, auch der rechte Teil wahr sein muß. Wenn der linke Teil falsch ist, dann kann der rechte Teil durchaus wahr (natürlich auch falsch) sein, am Wahrheitsgehalt der gesamten Aussage ändert sich dadurch nichts! Die Aussage enthält im Bereich der Quantoren den Bestandteil

x = y  ->  x2 = y2

aus dem durch Einsetzen von Zahlen aus R Aussagen hervorgehen, deren Untersuchung in die Aussagenlogik gehört.

Beispiel :

x = y  ->  x2 = y2

2 = 2  ->  2 hoch 2 = 2 hoch 2

wahr wahr wahr

1 = -1 -> 1^2 = (-1)^2

falsch wahr wahr

2 = 3  ->  2^2 = 3^2

falsch wahr falsch

Der Fall, daß die linke Aussage wahr, die rechte Aussage dagegen falsch ist, kommt nicht vor ( wahr =/ falsch ) !

Dies ist aber nur eine neue Formulierung der Aussagen (1), (1') und (1'').

1.2. Aussagenlogik

1.2. Aussagenlogik

 

Die Aussagenlogik zeigt, wie man mit Hilfe von aussagelogischen Verknüpfungen einfache Aussagen als Bausteine zum Aufbau komplizierter Aussagen benutzen kann. Sie untersucht, wie der Wahrheitswert der neuen, komplizierten Aussagen von den Wahrheitswerten der Aussagen abhängt, aus denen sie zusammengesetzt ist (und welche Folgerungsbeziehungen sich ergeben).

Aussagen, die noch keine aussagelogischen Verknüpfungen enthalten - dies sind die Bausteine mit denen man beginnt - heißen Elementaraussagen.&

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